 |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
应用最小二乘法分析拟合质量流量计(MFC)的工作曲线完善流量计
主要讲述应用最小二乘法分析拟合质量流量计(MFC)的工作曲线,以完善流量计的使用操作参数，首先根据已有的工作曲线通过拟合找出设定流量(msetting)—工作时间(t)的变化规律,再根据此规律拟合找到流量计的设定流量(m)—稳定时间(tsteady)曲线，并根据此结果指导流量计实际的工艺参数设定调整。
美国Emerson公司的Brooks 5850系列质量流量计是UHP(包括半导体)行业常用的流量控制仪器之一。此种仪器采用热质量流量感知技术,具有反应速度快,灵敏度高,精度高等特点。
此种流量计有自己的一套工作曲线。如图1所示。图中明显表明,当流量进行切换时,会存在一个时间的滞后,即流量计经过一定时间才会达到新的设定值。如流量由0到满量程时流量要经过6s左右才达到设定值,由0到满量程的20%也要3s左右。设定值变化的差越大,达到设定值的时间也越长。因此如何在实际的使用中避免这种流量滞后带来的影响,更好的使用此种流量计,对外延工作有重要的意义。此工作曲线上,部分设定流量变化与稳定时间的
特性曲线已经描绘出来,但对实际生产使用来说,数据不够全面。在实际生产中,特别是在设计工艺时,希望有确切的数学表达式。这里就是利用最小二乘法拟合的方法得到了设定流量msetting与时间t的关系式以及流量计的流量m与滞后的稳定时间tsteady的关系。
2 最小二乘法原理
下面用最小二乘法的曲线拟合技术对此图的工作曲线进行仔细分析,并设法得到更多的数据。在科学实验及统计方法的研究中,由于因素的复杂性或其他原因,往往难以得到量与量之间一种完全确定的关系。常常只能从系统运行中采集到反应变量x和y之间的关系的一些数据。而不能确切的知道函数的表达式,然而对系统的运行作某些定量分析,又常常需要函数表达式。最小二乘法是一个目前最常用的解决手段之一。应用最小二乘法的原理是对给定的一组数据:(xi,yi)=1,2,…,p在函数类Φ=span(Φ1,Φ2,…,Φn)中找到一个函数使其误差的平方和满足:
W(x)是[a,b]上的权函数,点(xi,yi)处的权W(xi)表示该点数据的重要程度。求解最小二乘曲线问题,可转化为求多元函数的极值问题:
3 最小二乘法在流量计工作曲线分析中的具体应用
从图1特性曲线的线形来看,可用非线性最小二乘拟合。设定公式:
首先对第一个流量变化0～100%量程的变化。进行拟合。在曲线上取五个点,如表1。
求得拟合曲线为:
对于此种流量计,当其流量从20%变为80%时,根据传感器的作用公式
ΔT=A·P·Cp·m (3)
式中:ΔT为传感器探测到的温度差。Cp为在恒定压力下的气体比热。P为加热器功率。M是质量流量。A为比例常数。
把(3)式变换后得:
d(ΔT)=A·P·Cp·(dm) (4)
即流量的变化对结果的影响只与流量的变化范围相关,与具体流量的位置无关。即流量从20%变为80%时与流量从0%变为60%时相同。由图1中流量数据曲线,当流量从0变到20%量程时:
当流量从20%变到80%量程时的曲线,即相当于流量从0%变为60%时
所以得到表2的数据。
表中只有三个设定流量随时间的变化关系,而进行实际应用时,会用到各种流量设定制。因此再应用最小二乘法中的多项式拟合过程对以上数据进行拟合,用以得到系数a,b与所有流量的变化关系式。
拟合后a的关系式为:
拟合后b的关系式为:
结果得到拟合后的关系式:
此关系式即是设定流量与各自设定流量相关的滞后时间的关系式。应用(9)式可推导出设定流量变化为50%时:
即当流量变化50%时,流量计是4.05s达到新的设定值同理,当设定流量变化80%时
则当流量变化80%时,流量计要5.44s达到新的设定值
从图2可以看出,拟合的设定流量的工作曲线与实际图1的工作曲线十分接近。
把上述表格作曲线拟合,得到:
此公式即是流量变化与所要的稳定时间tsteady的关系式。应用此公式,即可以用于平时的操作使用中。拟合后的图形见图3。
在MOCVD生长过程中,经常会用到源的切换与流量的变化,进行这些操作时,如果流量变化而引起的流量稳定所要的时间会对生长有很大的影响。比如在生长超晶格量子阱结构,或者VCSEL的反射镜时,需要很多界面分明的薄层,如果反应源切换的不及时,由于外延材料处在高温反应室内,长时间的高温可能造成外延层表面及界面质量的破坏,此时能及时通入反应物原料在实际操作中显得意义重大。当流量有50%的变化时,通过计算得到流量的稳定时间是5s,从而节省材料空置加热时间。因此,公式(9)与公式(12)在实际操作中有很大的作用。
5 讨 论
根据此流量计内的传感器的作用公式(3),不论是混合气还是单一组分气体,当组分恒定时,即d(Cp)=0时,上述推导是成立的。如果通过的气体的组分是随时间变化的,则公式(4)应变为如下形式:
d(ΔT)=A·P·d(Cp·m) (13)
此时流量的变化对结果的影响不只与流量的变化范围相关,还与具体流动的成分相关。则此时,流量变化后需要的稳定时间,既与流量变化有关,又和具体的气体相关。对于工艺上常用的气体:如氦气,氮气,氢气,氧气等,在常压或低压时,近似于理想气体,则Cp=k·R(k=3/2,5/2等),是固定的数值,如果气体组分变化是有规律的,即d(Cp)是可确定的,则稳定时间与设定值的关系还是可以找到的。如果组分随机变化,d(Cp)无法确定时,此时即使流量计的值设定不变时,由公式(13)也可知道,流量计的流量是波动的。波动的流量范围与组分随机变化的量相关。